Bayesi teoreem ehk põhjuste tõenäosus

Bayesi teoreem on tõenäosusarvutuse üks alustalasid . See on teooria, mille esitas Thomas Bayes (1702-1761) 18. sajandil. Aga mis on selle kuulsa teadlase uurimistöö eesmärk? Tõenäosus väljendab juhuslikus protsessis soodsate juhtumite arvu ja võimalike juhtumite arvu suhet.

On välja töötatud palju tõenäosusteooriaid, mis juhivad meie eksistentsi tänapäeval. Kui me arsti juurde läheme, kirjutab ta välja ravimi, mis meie puhul kõige tõenäolisemalt kasulikuks osutub, nii nagu reklaamijad pühendavad oma kampaaniad inimestele, kes kõige tõenäolisemalt ostavad toote, mida nad soovivad reklaamida, või turistidele ja reisijatele, kes valivad marsruudi, kus on tõenäoliselt kõige väiksem järjekord.

Kogu tõenäosuse seadus on üks kuulsamaid, seega enne sellest rääkima Bayesi teoreem peame pühendama paar rida esimese selgitamisele. Et seda mõista, tooge lihtsalt näide .

Kui suur on tõenäosus (P), et selle riigi töötavast elanikkonnast juhuslikult valitud inimene on töötu ?

Tõenäosusteooria kohaselt väljendatakse andmed järgmiselt:

• Tõenäosus, et isik on naine: P (M)
• Tõenäosus, et isik on mees: P (H)

Teades, et 39% elanikkonnast moodustavad naised, järeldame, et P (M) = 039.

Seetõttu on selge, et: P (H) = 1 – 039 = 061. Alguses püstitatud ülesanne annab meile ka tingimuslikud tõenäosused:

• Tõenäosus, et inimene on töötu, teades, et ta on naine -> P (P | M) = 022
• Tõenäosus, et inimene on töötu, teades, et ta on mees – P (P | H) = 014

Kasutades täieliku tõenäosuse seadus meil on:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

The . Me täheldame, et tulemus on kahe tingimusliku tõenäosuse (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Avastame Bayesi teoreemi

Oletame nüüd, et täiskasvanu valitakse juhuslikult vormi täitma ja tal pole tööd. Kui suur on sel juhul ja eelnevat näidet arvesse võttes tõenäosus, et see juhuslikult valitud inimene on naine -P (M | P) -?

Selle ülesande lahendamiseks rakendame Bayesi teoreemi mida kasutatakse sündmuse tõenäosuse arvutamiseks, omades selle kohta eelnevalt teavet . Saame välja arvutada sündmuse A tõenäosused, teades, et see vastab teatud tunnustele (B).

Sel juhul räägime tõenäosusest, et ankeedi täitmiseks juhuslikult valitud isik on naine. Aga see

Bayesi teoreemi valem

Nagu iga teine ​​teoreem, vajame ka valemit.

See tundub keeruline, kuid kõigel on seletus. Mõelgem osade kaupa. Mida iga täht tähendab?

B on sündmusmille kohta meil on esialgne teave.
• L täht A (n) viitab erinevatele tingimuslikele sündmustele.
• Lugeja osas on meil tingimuslik tõenäosus . See viitab tõenäosusele, et midagi (sündmus A) toimub, teades, et toimub ka teine ​​sündmus (B). See on määratletud kui P (A | B) ja seda väljendatakse järgmiselt: A tõenäosus, et antud B .
• Nimetajas on P (B) ekvivalent ja sama seletus nagu eelmine punkt.

Näide

Tulles tagasi eelmise näite juurde oletame, et täiskasvanu valitakse juhuslikult küsimustikku täitma ja jälgitakse, et ta seda teeb töötu . Kui suur on tõenäosus, et see valitud inimene on naine?

Teame, et 39% aktiivsest elanikkonnast moodustavad naised, ülejäänud moodustavad naised mehed . Teame ka, et töötute naiste osakaal on 22% ja meeste osakaal 14%.

Lõpuks teame ka seda, et tõenäosus, et juhuslikult valitud inimene on töötu, on 017. Kui rakendada Bayesi teoreemi valemit, saame tulemuseks, et tõenäosusega 05 on juhuslikult valitud inimene töötute hulgast.

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Bayesi teoreem tuleneb liit- ja absoluutse tõenäosuse teoreemide konjunktsioonist, mida me alguses selgitasime. Selle peamine omadus on see, et see töötab tõenäosuse kõigis tõlgendustes.

Kuna seda saab kasutada sündmuse käivitanud põhjuse tõenäosuse arvutamiseks selle tähtsus seisneb selles, kuidas see on ajalooliselt mõjutanud statistika uurimist . Tänapäeval tuntakse tegelikult kahte peamist koolkonda (üks frekventist ja teine ​​bayesilane), mis vastandavad teineteist, lähtudes sellele teooriale antud tõlgendusest.

Lõpetame uudishimuga: kas teadsite, et elektrooniline rämpspost (see on Internet meilireklaamid) kas see töötab tänu Bayesi teoreemile?